Page 70 - 无损检测2024年第十二期

黄梓琦，等：

基于改进模量比寻根算法的黏弹性多层空心圆柱超声导波特性分析

在波的传播过程中，假设体力为零，则黏弹性空 件（界面上层和下层的位移和应力连续）自动得到
心圆柱体的动力学方程为 满足。
∂ T rr 1 T∂ rθ ∂ T rz T rr -T θθ ρ ∂ 2 u r 对于沿z轴传播的纵向导波，假设为时间简谐
r ∂ + r ∂ θ + z ∂ + r = t ∂ 2 波，质点运动的位移分量为
∂ T rθ 1 T∂ θθ ∂ T θ z 2T rθ ρ ∂ 2 u θ （1）
r ∂ + r ∂ θ + z ∂ + r = t ∂ 2
∂
∂ T rz 1 T θ z ∂ T zz T rz ρ ∂ 2 u z
r ∂ + r ∂ θ + z ∂ + r = t ∂ 2
（6）
式中：T 和u (i，j=r，θ，z)分别为应力和位移分量； 式中：U(r)，V(r)，W(r)分别为r， θ，z方向上的位移
ij
ij
ρ 为材料密度。 分量；k为波数；n为周向阶次，为时间。
t
基于小变形假设，应变和位移之间的关系为
若n=0，式（7）表示的是轴对称模态导波（纵向
模态和扭转模态）， n不为零则表示的是弯曲模态导
波。本节研究轴对称模态导波，故取n=0。
将式（2）~（6）代入式（1），可得到位移形式的
（2） 波动控制方程（略），根据该控制方程可知，多层空
心圆柱体系中的波动控制方程是解耦的。
为了求解多层空心圆柱的波动控制方程，将位
移展开为Legendre正交多项式级数，即
∞
r
式中： S ij （i， j=r,θ,z）为应变分量。 Ur ∑ p Q m ()
1
()=
m
空心圆柱体的本构关系为 m =0
∞
Vr ∑ p Q m () （7）
r
2
()=
m
m =0
∞
r
r
W ()= ∑ p Q m ()
3
m
m =0
（3）
式中： 为展开系数，且
r
m
Qr h 2 +1 P m    2-h -h N -h  h 0   （8）
( )=
m
h
-
式中： 为黏弹性常数，基于Kelvin- N 0 N 0
式中：P 为第m阶勒让德多项式。
m
Voigt模型描述为
将式（7）和（8）代入位移形式的波动控制方程
ω
n
C *( ) =C ( ) +i μ ij ( ) （4） 中，两边同乘 Qr ， j的取值为0到有限值M，然后
*
n
n
( )
j
ij
ij
ω
各式对r从0到hN积分，利用Legendre多项式的正交
n
n
式中：C ij () 和 μ 分别为第n层的弹性常数和黏性常 特性，可以得到如下方程
()
ij
数； ω 为角频率； ω 为特征频率；i为虚数单位。
为了区分沿径向的不同材料特性，引入矩形窗
（9）
函数 π ( ) ，即
r
n h -1 ， n h
（5） 式中：m和j均为取值范围从 0 到M的正整数，待
定系数 （α，β=1，2，3）的表达式此处不再详细
式中：h n-1 为空心圆柱第n层的内半径；h 为空心圆 展开。
n
柱第n层的外半径。 当系数矩阵行列式为0时，式（9）有非零解，即
在上述表达式中，材料参数被限制在壁厚范围 mj mj
，
，
内。同时，应力自由边界条件（空心圆柱内外表面 A 11 mj A 13 mj =0 （10）
，
处T =T =T =0）与各组分层之间的界面边界条 A 31 ， A 33
rr
rθ
rz
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2024 年 第 46 卷 第 12 期
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