Page 113 - 无损检测2024年第五期

包 扬, 等:

基于多项式混沌展开法的涡流无损检测高效元模型辅助探测概率的分析

乘; T 和D 为对角矩阵; K 和L 为磁( 电) 流产生的
a
Y=M ( X ) = ∑ i ψ i X ) ( 8 )
(
电( 磁) 场; R 为电( 磁) 荷产生的电( 磁) 场。 i = 1
使用八叉树结构对目标进行分块, 根据场区块 式中: 为多元多项式基函数; i 为多项式项的索
ψ i
和源区块之间距离的关系, 将其分为近区块和远区 引; a i 为与基函数相应的未知系数。
块。其中近区块表示场区块和源区块重合或是邻 实际中, 使用有限阶数的多项式基函数就可以
近, 其余的为远区块。对于具有秩亏特性的远区块 达到求解的精度要求, 因此将多项式截断
v=t×s , 其中t 和 s 分别为场区块和源区块, 对核 Y=M ( X ) M ( X ) = P a ( ( 9 )
PC
∑ i ψ i X )
函数及其梯度使用拉格朗日多项式将其插值退化为 ≈ i = 1
式中: M PC ( X ) 为截断近似后的多项式混沌展开
t
t , s
s
t
s
G l rr' ) = ∑ ∑ L υ rG l ξ υ ξ μ L μ r' )
() ( , ) (
(,
t
υ ∈K μ ∈K s 模型。
( 4 ) 所需多项式的项数P 为
p+ n )!
t
t , s
s
t
s
( , ) (
(,
()
G l rr' ) = ∑ ∑ L υ r G l ξ υ ξ μ L μ r' ) P = ( ( 10 )
!
t
υ ∈K μ ∈K s p n !
p
( 5 ) 式中: 为多项式混沌展开模型的阶数; n 为随机变
d
p
式中: K = { 1 , 2 ,…, }; d=1 , 2 , 3 , 分别对应 1 量的个数。
维, 2维, 3维问题; 为每个维度中插值点的个数; 将物理模型计算出的观察点的真实响应值, 用
p
s
t
( ) t 和( ) s 分别为场区块和源区块中的插 多项式混沌展开法对相同观察点的预测值和相应的
ξ υ υ∈K ξ μ μ ∈K
s
t
值点; K 和K 分别为场、 源区块中的插值点个数; 残差表示为
PC
t s Y=M ( X ) =M ( X ) ε PC=
+
( L υ ) ) s 为相应的拉格朗日插值多
υ ∈K t 和 ( L μ μ ∈K
P
项式。 a ( T ( ( 11 )
+
+
× 子 ∑ i ψ i X ) ε PC= a ψ X ) ε PC
对阻抗矩阵进行核函数退化, 首先考虑 K l i = 1
矩阵的远区块, 假设其维度为T ×Q , 则有 式中: ε PC 为残差。
使用普通最小二乘法来求解多项式混沌展开法
() ^
×
K lmn = S dS [ Λ m r × n ] · S G l rr' ) × 的系数降低残差, 求解出的系数为
(,
∫
∫
m
n
T
T
(
Λ n r' ) dS' ( 6 ) ( A A ) A Y ( 12 )
- 1

式中: Λ ( r ) 为 RWG 基函数。 式中: A i , j= ψ i x j j=1 ,…, n , i=1 ,…, P 。
( ),
× 子矩阵可以近似为 通过计算均方根误差以及归一化的均方根误差
K l
×
a ×
K l ≈c · g l× d a T ( 7 ) 来验证所求得的多项式混沌展开模型的精度, 均方
× 子矩阵远区块的秩远小于 T 和 Q 的 根误差的计算式为
因为 K l
值, 所以通过退化核函数方法降低了该矩阵的存储量。 N
^
2
R MSE= t ( Y i- Y i )/ N t ( 13 )
退化核函数的方法也可以应用到其他子矩阵中, 从而 ∑ i = 1
构建高效且精确的近线性阶的涡流无损检测数值模 式中: N t 为总的训练点个数; Y i 分别为第 i
^ 和Y i
型。文章中使用退化核函数加速的边界元法物理模 个训练点的元模型预测值和模型的实际响应值, 归
型( KD-BEM ) 对模型辅助探测概率问题进行分析。 一化均方根误差为均方根误差除以模型响应Y i 的
1.2 多项式混沌展开法 范围, 即响应最大值减去响应最小值。
多项式混沌展开法由 Wiener提出, 是一种可 构建多项式混沌展开元模型的步骤如图 1 所
以有效描述随机过程不确定性传播的元模型 [ 24-25 ] 。 示。首先, 通过拉丁超立方法选取任意数量的训练
考虑定性映射表示的物理模型响应 y=M ( x ), 其中 点, 使用基于退化核函数加速的边界元数值模型计
} ∈R , n≥1 为输入变量, 矢 算训练点的实际响应值, 使用响应值计算未知系数
n
T
矢量x= { x 1 ,…, x n

量 y= { ,…, } ∈R , Q≥1为物理模型响应。 从而获得模型; 然后, 使用蒙特卡洛法( MonteCarlo
Q
T
y Q
y 1
由于输入矢量x 有不确定性的影响, 使用规定概率 Sam p lin g MCS ) 生成预测点, 使用数值模型计算预
,
密度函数的独立随机矢量 X 表示。因此, 模型响应 测点的实际响应值, 比较实际响应值和通过多项式
也使用随机变量表示为Y=M ( X )。使用正交的多 混沌展开模型计算出的预测响应值; 最后, 如果所求
项式基函数将 Y 展开 元模型的均方根误差和归一化的均方根误差小于所
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2024年 第46卷 第5期
无损检测