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孙尔雁，等：

CT 重建图像质量的优化算法

JOHANN RADON在1917年提出。 波方法对CT成像质量的影响，旨在为CT重建图像
在滤波函数的研究方面，Shepp 和 Logan 于 质量的优化提供了一些参考。继续研究和优化基于
1974 年提出了Shepp-Logan 滤波器 ，这是一种理想 滤波反投影算法的滤波功能和降噪技术，对于降低
[10]
的低通滤波器，专门用于降低投影数据中的高频噪声并 系统的计算需求具有重要意义。
改善图像质量。此外，其他重要的滤波器如Ram-Lak、
1 滤波反投影算法的数学理论
Butterworth 、Hann和Hamming 滤波器也在CT图
[12]
[11]
像重建中得到广泛应用。 Radon变换（见图1）是滤波反投影算法的数学
迭代算法则通过建立像素与射线投影数据之 基础，用于将二维灰度图像 f (x， y)转换为投影数据
间的关系系统矩阵，再进行迭代计算，来调整像 R(t， θ)。这里， x和y是笛卡尔坐标系中的坐标，而
素密度值以达到与试验测量数据的最佳匹配。这 R(t， θ)模拟探测器采集的数据，（t， θ）是对应的极
种算法在处理复杂物件时通常需要更高的 GPU 坐标，反映了X射线通过被检测物体时的衰减情况。
y
性能。 在此坐标系中， θ为新的投影坐标系(s， t)相对于(x，)
笔者基于计算机模拟试验的方法研究了几种滤 的旋转角度，而t是与X射线垂直的坐标。
(y, v)
(y, v)
A A
1
2
(x, y)
e

(x, u)
(x, u)

(a) 滤波后的投影数据g(t, θ)关于θ角度进行积分圆 (b) x-y空域平面和u-v频域平面的采样点
图 1 Radon 变换的平面示意

Radon变换的定义式为 f ( , )=  π g ( cos + sin )d （3）
x
xy
y
θ
θ
θ
R ( , )= 0
t
θ
|ω
  f xy δ ( , ) ( cos + sin - )d dy （1） 式中： |为Ram-Lak滤波器，在频率域中增强高频


t x
y
x
θ
θ
信息，而高频成分通常代表图像中的边缘信息。

式中： δ为狄拉克函数，只在 cos + sin - =0x θ y θ t 的直 因此，滤波后的投影数据中的高频成分会增强
线上取值，其余部分为0。即R(t， θ)是图像在θ 角度下沿 图像的边缘特征，有助于保持图像的边缘清晰度。
根据奈奎斯特-香农采样定理 [13] ，能够解析的最
X射线的密度积分。
高空间频率是采样频率的一半。如果每个投影包含
迭代算法通过多次使用Radon变换来更新图像
N 个采样点，那么投影的空间频率W和频率步长e
ray
密度，从而生成新的投影数据。滤波反投影算法则
可以通过以下公式计算，即
主要利用反Radon变换。通过对投影数据R(t， θ)进
 1
行傅里叶变换得到频域函数P(ω，θ)，然后与滤波函  W = 2τ （4）

数进行卷积，即  e = 2 = 1W


gt θ   P ( , ) ω e j2πω t dω （2）  N ray τ N ray
ωθ
( , )=

式中： τ 为采样间隔。
式中：为虚数单位；e为自然对数的底。 两个连续投影之间的角增量 σ 可由 180° 总
j
滤波后的投影数据g(t， θ)通过反投影来重建灰 扫描角度除以投影数 M proj 计算得出。由此，空
度图像f (x，y)，即 间域和频域分辨率应相匹配以保持成像质量，即
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2025 年 第 47 卷 第 2 期
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