Page 70 - 无损检测2023年第二期

纪象民, 等:

基于本征图像分解的焊缝提取算法

采用两个不同方向的一阶导数滤波器以及二
阶拉普拉斯滤波器, 一阶导数滤波器的作用为恢
中的纹理信息, 而拉普拉斯滤波器可以保证
复I 1
, 可以得到
I 2 的平滑, 将式( 4 ) 代入式( 9 ), 消去I 2
的优化目标函数。该优化目标函数为带有不
对I 1
等式约束条件的非凸函数, 可以采用半二次分裂
方法 [ 15 ] 将其转化为一定约束范围内的凸函数优化
问题, 则有
图6 不同区域梯度直方图
2
)
(
)]
(
)

min ∑ ∑ ρ I 1 f j i+ λ [( I 1 f 3 i- I f 3 i
于前景图层的。因此, 可将输入预处理后的焊缝图像 I 1 i j = 1 , 2
( )
看作不同图层的组合, 即 s.t.lb i ≤ I 1 i ≤ub i ( 10 )
j
j ( ), 为辅助变量; 为优化过程
I ( x ,) ( y + ( y ( 4 ) 式中: F i I= I* f j i h i β
y =I 1 x ,) I 2 x ,)
式中: 定义 I 1 x ,) 为前景图层, 其中包含输入图像 中逐步增大的权重系数, 其值越大, 越接近目标函数
y
(
中的大梯度信息; I 2 x ,) 为背景图层, 仅包含输入 的精确解; I 为原始图像; s.t. 表示对I 1 施加约束
y
(
图像中的平滑信息。 条件, 使其转化为局部的凸优化问题。
同时, 依据梯度稀疏先验, 将上述图像分层问题 通过逐步迭代, 更新辅助变量参数并寻找I 1 的
描述为 [ 14 ] 最优解, 式( 10 ) 中辅助变量的更新过程以及I 1 的求
2 2
1 - g / σ 解过程如下。
P 1 g = maxe 1 , ε ( 5 )
()

z ( 1 )保持I 1 不变, 当式( 10 ) 取得最小值时, 计
j
2 2
1 - g / σ 算各个位置的封闭解, 此时h i 可以写为
P 2 g = e 2 ( 6 )
()
2
2πσ 2 1
j
j , ( F i I 1 ) >
2
g 和 分别为两 j F i I 1 ( 11 )
式中: 为梯度值; z 为归一化参数; σ 1 σ 2 h i = β
( ) 为梯度值属于前景图
个较小的高斯分布方差; P 1 g 0 , 否则

j
() 为梯度值属于背景图层的概率。
层的概率; P 2 g ( 2 )保持辅助变量h i 不变, 可以看出, 式( 10 )
为防止出现边缘概率为0的现象, 在式( 5 ) 中添 为关于I 1 的二次函数。假设此时式( 10 ) 满足圆形
加一个较小的常量ε 作为下限值。其次, 为了保证 边界条件, 利用二维 FFT 算子将卷积矩阵 F 对角
j
( , 为
y
I 2 x ,) 较为平滑, 需要最大化联合概率分布P ( I 1 化, 求解出I 1
), 使得联合概率分布的负对数取得最小值。式( 6 ) - 1 ( 12 )
I 2 I 1=F ( A )
的负对数可以表示为 j * j 3 * 3
F ( F ) F ( h ) λF ( F ) F ( F ) F ( I )
β∑ +

() 2 / 2 ( 7 ) j
- lo g P 2 g ∝g σ 2+C 2 A = j
j *
3 *
3
+
+
将式( 7 ) 进行简化, 设稀疏惩罚函数 () β∑ F ( F ) F ( F ) λF ( F ) F ( F ) τ
ρg =
j
min { / k , 1 }, k 为较小的常数, 则其负对数可以表 ( 13 )
2
g
示为
式中:(·) 代表共轭操作; F为二维 FFT 算子, 在分
*
g 2
()

- lo g P 1 g ∝ min σ 1 - lo g ε ) ( 8 ) 母添加接近于0的常数 τ 。

, 1 +C 1
2
(
为保证非凸函数可以取得最优解, 需要满足计
、 为常数。
式中: C 1 C 2
) 进行归一化
算出的( I 1 i ∈ lb i ub i
[ , ], 因此要对I 1
对于联合概率分布, 若假设两图层相互独立, 可
操作, 计算公式为
, ) ), 同时假设各导数
以得到P ( I 1I 2 =P ( I 1 ) · P ( I 2 2
[( )
滤波器输出相互独立, 最小化联合概率分布的数学模 min ∑ m i I 1 i+ t- lb i ] +
t
i
型可以写为 ] ( 14 )
2
n [( )
∑ i I 1 i+ t- ub i
i
2
min [( ) )] ( 9 ) 在各个位置的上下限
,
I , I ∑ ρ I 1* f j i+ λ ( I 2* f j i 式中: 式中: lb i ub i 分别为 I 1
1 2 i , j
式中: *表示卷积运算; i 为像素坐标; 为导数滤波 值; t 为归一化系数; m i n i )
j
, 为示性函数, 当( I 1 i +
器的类型; 代表不同类型的导数滤波器; λ 为调整 t<lb i 时, m i= 1 , 当( I 1 i+ t>ub i 时, n i= 1 , 其他
)
f j
平滑度的参数; 为稀疏惩罚函数。 情况下示性函数取值为0 。根据式( 11 ) ~ 式( 14 ),
I 2 ρ
3
6
2023年 第45卷 第2期
无损检测