Page 118 - 无损检测2023年第十期

党红云, 等:

基于 ERT 的可视化压力测量方法

电导率分布, 进而以图像形式显示材料所受压力的 将场域离散为 m 个单元之后, 通过线性插值得
大小及位置 [ 12 ] 。 到每一个单元的电势, 即
2.2.1 正问题 φ e x , ) a+ bx+ c y ( 5 )
y =
(
以被测对象中心点作为零电势参考点, 电阻层 式中: a , b , c 的值由单元节点坐标和电势决定, 根
析成像正问题可以写为 据单元的离散关系得到单元矩阵 [ 15 ] 。
φ
繾 · σ 繾 = 0 当电导率 σ 已知时, 可以求出每一个单元的电
∂ φ 势, 即
σ

= J ( 2 )
()
∂n ∂M V e = F e σ ( 6 )
φ x 0 y 0 = 0
( , ) 当被测物体的电导率由 σ 变为 σ+Δ σ 时, 测量

式中: 繾为梯度算子; σ 为电导率分布; M 为被测场 电极上的电压变成V +ΔV , 对V +ΔV 进行泰勒展
域; J 为注入电流密度; 为敏感场内电势, 被测对 开得到
φ
, ) 为0 。
φ
象中心点电势 ( x 0 y 0 ∂F 2 ( 7 )
被测场域边界电压为 ΔV = ∂σ Δσ+ ο ( Δ σ )
V = F ( σ ) ( 3 ) 式中: o 表示高阶无穷小。
式中: F ( σ ) 以电导率分布σ 为变量的函数; V 为被 高阶项( Δ σ ) 被忽略, 式( 7 ) 经过线性化、 离散
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测物体的边界电压 [ 13 ] 。 化后为
正问题求解方法包括解析法和有限元法两种, Δ V = SΔσ ( 8 )
解析法对于电导率分布复杂的场域求解难度大, 很 式中: S 为灵敏度矩阵。
难得到正确解析。因此, 有限元法求解电阻层析成 假设将被测对象划分成 m 个单元, 获得边界电
像的正问题应用越来越广泛。 压n 个, 单元内电导率不变, 则每个单元与图像中
有限元法求解电阻层析成像正问题将被测对象 的一个像素对应, 将式( 8 ) 先进行离散化后, 再进行
离散化, 将其划分成若干个离散单元, 划分的单元越 归一处理, 正问题的求解可以变为
小, 求解的精度就越高, 但计算量会随着单元的增加 U= S g ( 9 )
而增加。单元通常取三角形, 且将每个单元内的电 式中: U 为测量电压矢量; 为电导率分布矢量, 即
g
导率设为常数, 则正问题可以表示为 像素灰度 [ 16 ] 。
m 笔者在 MATLAB软件中求解电阻层析成像正
φ =
( )
F ( ) ∑ F e φ ( 4 ) 问题, 首先对被测对象场域进行离散化, 将其划分为
e = 1
( ) 表示被测对象被划分成若干个单元
式中: F e φ 多个三角形单元。分别在( 1 , 2 );( 4 , 5 );( 7 , 8 );
后, 每个单元以敏感场内电势 φ 为变量的函数; e 为 ( 10 , 11 );( 13 , 14 );( 16 , 1 ) 成对电极间添加激励电流
划分的每一个单元; m 为划分的单元数 [ 14 ] 。 时, 不同激励下的敏感场电势分布如图4所示。

图4 不同激励下的敏感场电势分布

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2023年 第45卷 第10期
无损检测