Page 65 - 无损检测2021年第四期

赵新玉, 等:

高强度发动机螺栓轴向应力的测量

固体中一维平面纵波通过力学平衡得到( 只 x 方向 式中: c s 为横波声速。
变化, F=ma ) 根据声弹性理论 [ 7 ] , 固体中的声速与应力的关
2 系为
∂σ x ∂u x
∂x d x d y d z - σ x d y d z = ρ d x d y d z ∂t 2 ( 1 ) ( c σ , p ) = c 0 , p ) -
σ x +
2
2
(
2
)(
μ + λ+2n
∂σ x ∂u x ( λ+2 μ 4λ+10 μ +4m )/
= ρ ( 2 ) σ ( 13 )
∂x ∂t 2 ρ 0 3 λ+2 μ )
(
2
2
, , 为应力; 为密度; ) ( ) -
式中: d x d y d z 均为体积; σ x ρ μ x ( c σ , s = c 0 , s
为位移; t 为时间。 ( 2n-2λ )( λ+2 μ +m )/ μ
σ ( 14 )
(
另外, 材料本构方程为 ρ 0 3λ+2 μ )
为有应力下的纵波声速和横波声
σ x ν ν 式中: σ σ , p 和c σ , s
ε x = - σ y - σ z 为无应力下的纵波声速和横波声速;
E E E 速; c 0 , p 和c 0 , s

σ y ν ν m , n 为三阶弹性常数。

ε y = - σ x - σ z ( 3 ) 令
E E E
)(
μ + λ+2n
σ z ν ν ( λ+2 μ 4λ+10 μ +4m )/
ε z = - σ x - σ y 2 K p =- ( λ+2 μ 3λ+2 μ )
)(

E E E

式中: ε x ε y ε z y , ( 15 )
, , 分 别 为 x , , z 方 向 的 应 变; σ y σ z
μ
分别为 y z 方向的应力; ν 为泊松比; E 为 拉 压 弹 ( 2 n-2 λ )( λ+2 μ +m )/
,
2K s=- ( ) ( 16 )
性模量。 μ 3λ+2 μ
, 为自定义常量。
式( 3 ) 中的第一个式子可以写成 式中: K p K s
m , n 为三阶弹性常数, 则
σ x ν
ε x = - ( σ y + σ z ) ( 4 ) ( c σ , p ) ( )( 1+2K p σ ) ( 17 )
2
2
E E = c 0 , p
2
2
(
螺栓的约束条件为σ y = σ z = 0 , 则式( 4 ) 可写为 ( c σ , s ) = c 0 , s )( 1+2K s σ ) ( 18 )
, 当温度为t 且未
/
ε x = σ x E ( 5 ) 设螺栓未受应力且温度为t 0
,
整理得 受应力时, 纵 横 波 在 螺 栓 中 传 播 的 声 时 T 0 , p T 0 , s
分别为
∂u x
( 6 )
E = σ x [ ( ( 19 )
∂x T 0 , p = 2L 0 1+ β t- t 0 )]/ c t , p
[
(
由式( 6 ) 可知 T 0 , s= 2L 0 1+ β t- t 0 )]/ c t , s ( 20 )
β
式中: 为螺栓的温度膨胀系数; L 0 为螺栓在温度
)/
c p = ( λ+2 μ ρ ( 7 )
时的长度。
为t 0
μ
式中: λ , 为拉梅常数; c p 为纵波声速。 c t , p = c 0 , p 1- α p Δt ) ( 21 )
(
当考虑横波的情况时, 本构方程为
c t , s= c 0 , s 1- α s Δt ) ( 22 )
(
/
γ x y = τ x y G
时的声速;

为横波受应力σ 且温度为t 0
式中: c t , p

/
γ zx = τ zx G ( 8 ) , 为
c t , s 为纵波受应力σ 且温度为 t 0 时的声速; α p α s

/
γ y z = τ y z G 纵波和横波声速随温度变化的声速系数; Δ t 为温度

式中: γ 为剪切应变; τ 为剪切应力; G 为剪切弹性
差。
模量。 的比值
和 T 0 , s
设横纵波在不受应力时的 T 0 , p
E 为 M , 则
G = ( 9 )
2 ( 1+ ν )
c 0 , p 1- α p Δt )
(
螺栓的约束条件为γ x y = γ y z = 0 , 则式( 8 ) 为 M = c 0 , s 1- α s Δ t ) ( 23 )
(
γ zx = τ zx G ( 10 ) -4 数量级, 所以当
/
, 非常小, 约为 10
由于α p α s
将式( 9 ) 代入式( 10 ) 得 温差不是很大时, M 近似为一条直线。
E 螺栓中传播的声时为受力及不受力部分声时的
τ zx = γ zx ( 11 )
2 ( 1+ ν )
和, 纵波受力时的声时 T p 为
由式( 11 ) 可知
2Δ L ( 1+ β Δt )
T p = +
/
c s= μρ ( 12 ) c t , p
7
2

2021 年 第 43 卷 第 4 期

无损检测